🎯 Simulazione Pendolo Semplice

Analisi dinamica con integrazione numerica e confronto teorico-sperimentale

⚙️ Parametri del Sistema

Lunghezza (L): 1.00 m

1.00 m

Gravità (g): 9.81 m/s²

9.81 m/s²

Angolo Iniziale (θ₀): 30°

30°

Passo Temporale (dt): 0.02 s

0.02 s

Attrito dell'aria

📊 Analisi dei Periodi

Periodo Teorico (piccole osc.): --

Periodo Simulato (numerico): --

Differenza Relativa: --

Tempo di Simulazione: 0.00 s

⚠️ Stato: In esecuzione

🎬 Animazione del Pendolo

📈 Grafico Angolo θ(t) nel Tempo

📚 Istruzioni e Domande Guida

Esplora i parametri: Modifica lunghezza, gravità e angolo iniziale per osservare come cambiano il periodo e il comportamento del pendolo.
Confronta le approssimazioni: Per angoli piccoli (< 15°), nota come il periodo teorico e quello simulato coincidono. Che succede con angoli grandi?
Attrito dell'aria: Attiva l'attrito e osserva il decadimento dell'ampiezza. Come influenza il periodo effettivo?
Domande di riflessione:
- Perché la formula semplice T = 2π√(L/g) funziona solo per piccole oscillazioni?
- Come cambia l'energia del sistema con l'attrito?
- Cosa rappresenta fisicamente il coefficiente b/m?
- Come varia il periodo con l'angolo iniziale?

📐 Equazioni del Pendolo Semplice

Equazione Differenziale Fondamentale

L'equazione del moto per un pendolo semplice deriva dall'applicazione della seconda legge di Newton alla componente tangenziale della forza:

\[\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin(\theta) = 0\]

Dove:

θ = angolo rispetto alla verticale (radianti)
L = lunghezza del pendolo (metri)
g = accelerazione di gravità (m/s²)
t = tempo (secondi)

Derivazione:

1. Forza tangenziale: \(F = -m \cdot g \cdot \sin(\theta)\)

2. Accelerazione tangenziale: \(a = L \cdot \frac{d^2\theta}{dt^2}\)

3. Applicando \(F = m \cdot a\): \(m \cdot L \cdot \frac{d^2\theta}{dt^2} = -m \cdot g \cdot \sin(\theta)\)

4. Semplificando: \(\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\sin(\theta)\)

Periodo per Piccole Oscillazioni

\[T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

Questa formula è valida quando sin(θ) ≈ θ (approssimazione per θ < 15° ≈ 0.26 rad).

⚠️ Importante: Il periodo dipende SOLO da L e g, non dall'ampiezza (per piccole oscillazioni). Questo è il principio dell'isocronismo del pendolo, scoperto da Galileo.

🔢 Metodo di Integrazione Numerica: Runge-Kutta 4° Ordine (RK4)

Per angoli grandi, l'equazione differenziale non ha soluzione analitica semplice. Usiamo il metodo RK4, uno dei più accurati metodi numerici.

Sistema di Equazioni di Primo Ordine

Trasformiamo l'equazione del secondo ordine in un sistema di due equazioni del primo ordine:

\(\frac{d\theta}{dt} = \omega\) (velocità angolare)

\(\frac{d\omega}{dt} = -\frac{g}{L}\sin(\theta)\) (accelerazione angolare)

Algoritmo RK4

Per ogni passo temporale dt, calcoliamo 4 pendenze intermedie:

\(k_1 = f(t, y)\) - pendenza all'inizio

\(k_2 = f(t + \frac{dt}{2}, y + k_1 \cdot \frac{dt}{2})\) - pendenza a metà step con \(k_1\)

\(k_3 = f(t + \frac{dt}{2}, y + k_2 \cdot \frac{dt}{2})\) - pendenza a metà step con \(k_2\)

\(k_4 = f(t + dt, y + k_3 \cdot dt)\) - pendenza alla fine con \(k_3\)

Aggiornamento finale (media ponderata):

\[y(t+dt) = y(t) + \frac{dt}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\]

                        Vantaggi del RK4
                        Errore locale: O(dt⁵) - molto piccolo!
Errore globale: O(dt⁴)
Stabilità: Ottima conservazione dell'energia
Precisione: Molto superiore al metodo di Eulero semplice

                    

Implementazione nel Codice

Nel nostro simulatore, ad ogni step:

1. Calcoliamo le 4 pendenze per θ e ω

2. Combiniamo le pendenze con i pesi (1, 2, 2, 1)

3. Aggiorniamo le variabili di stato

4. Registriamo i dati per il grafico

🔬 Confronto: RK4 vs Eulero-Cromer

Metodo di Runge-Kutta 4 (utilizzato):

✅ Precisione superiore: Errore O(dt⁴)
✅ Ottimo per angoli grandi: Gestisce meglio oscillazioni ampie
✅ Versatile: Funziona bene con e senza attrito
❌ Costo computazionale: 4 valutazioni per step

Metodo di Eulero-Cromer (alternativa):

✅ Simplectico: Conserva perfettamente l'energia (senza attrito)
✅ Più veloce: Solo 2 valutazioni per step
✅ Stabilità: Nessuna deriva energetica nel lungo periodo
❌ Precisione minore: Errore O(dt²)

📌 Scelta per questa simulazione: RK4 è preferibile perché gestisce ottimamente sia il caso senza attrito (alta precisione) che con attrito (dove la natura simplettica non è più rilevante). Con dt=0.02s, offre un eccellente compromesso tra accuratezza e performance.

🔍 Differenza tra Approssimazione e Formula Generale

Approssimazione per Piccole Oscillazioni

\[T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

Valida quando: \(\sin(\theta) \approx \theta\) (θ in radianti)

Questa approssimazione è eccellente per θ < 15° (errore < 0.5%)

Perché l'approssimazione funziona?

Lo sviluppo in serie di Taylor del seno è:

\[\sin(\theta) = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \ldots\]

Per angoli piccoli, i termini \(\frac{\theta^3}{6}\), \(\frac{\theta^5}{120}\), ... diventano trascurabili, quindi \(\sin(\theta) \approx \theta\).

Esempio: Per θ = 15° = 0.262 rad:
sin(0.262) = 0.2588
θ = 0.2620
Errore = 1.2%

Formula Generale per Grandi Angoli

Per oscillazioni di ampiezza \(\theta_0\), il periodo esatto è dato da un integrale ellittico:

\[T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \cdot K\left(\sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\right)\]

Dove K è l'integrale ellittico completo di prima specie.

Alternativamente, serie di approssimazione:

\[T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \left[1 + \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \ldots\right]\]

Confronto Numerico

Angolo θ₀	Formula Semplice	Periodo Reale	Errore %
10°	2.006 s	2.007 s	0.05%
30°	2.006 s	2.023 s	0.84%
90°	2.006 s	2.348 s	17.0%
150°	2.006 s	3.364 s	67.7%

(Valori per L=1m, g=9.81m/s²)

📌 Conclusione: La formula semplice sottostima sempre il periodo reale. Maggiore è l'angolo, maggiore è la discrepanza. La nostra simulazione numerica cattura perfettamente questo comportamento!

💨 Attrito dell'Aria e Smorzamento

Equazione con Attrito Viscoso

Quando includiamo l'attrito dell'aria (proporzionale alla velocità), l'equazione diventa:

\[\frac{d^2\theta}{dt^2} + \gamma\frac{d\theta}{dt} + \frac{g}{L}\sin(\theta) = 0\]

Dove:

\(\gamma = \frac{b}{m}\) = coefficiente di smorzamento (s⁻¹)
b = coefficiente di attrito viscoso (kg/s)
m = massa del pendolo (kg)

Significato Fisico del Coefficiente γ (gamma)

Il coefficiente \(\gamma = \frac{b}{m}\) ha dimensioni di \([1/\text{tempo}]\), ovvero s⁻¹.

Cosa significa 1/s (s⁻¹)?

È una frequenza di smorzamento
Rappresenta quanto rapidamente l'energia viene dissipata
Tempo caratteristico: \(\tau = \frac{1}{\gamma}\) = tempo per diminuire l'ampiezza di un fattore \(e^{-1} \approx 37\%\)

Esempi pratici:

\(\gamma = 0.1\) s⁻¹: \(\tau = 10\) s (smorzamento lento)
\(\gamma = 0.5\) s⁻¹: \(\tau = 2\) s (smorzamento moderato)
\(\gamma = 1.0\) s⁻¹: \(\tau = 1\) s (smorzamento rapido)

Interpretazione Fisica

La forza di attrito è: \(F_{attrito} = -\gamma m v = -\gamma m L \frac{d\theta}{dt}\)

Questa forza:

È sempre opposta al moto (segno negativo)
È proporzionale alla velocità (attrito viscoso)
Causa dissipazione di energia
Non è conservativa (l'energia meccanica diminuisce)

Effetti sul Periodo

Con attrito, il periodo effettivo diventa:

\[T_{smorzato} \approx \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{\gamma}{2}\right)^2}}\]

Dove \(\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}\) è la frequenza angolare naturale (senza attrito).

Conseguenze:

Il periodo aumenta leggermente con l'attrito
L'ampiezza diminuisce esponenzialmente: \(\theta(t) \propto e^{-\frac{\gamma}{2}t}\)
Se \(\frac{\gamma}{2} > \omega_0\), il sistema è sovrasmorzato (non oscilla più)

Energia e Smorzamento

L'energia totale diminuisce nel tempo secondo:

\[E(t) = E_0 \cdot e^{-\gamma t}\]

La potenza dissipata dall'attrito è: \(P = \gamma m v^2\)

Questa energia viene convertita in calore!

Da cosa Dipende il Periodo?

SENZA ATTRITO:

✅ Dipende da: Lunghezza L e gravità g
✅ Per piccole oscillazioni: NON dipende dall'ampiezza
✅ Per grandi oscillazioni: DIPENDE dall'angolo iniziale θ₀
❌ NON dipende da: massa, forma del peso

CON ATTRITO:

✅ Dipende anche da: coefficiente b/m
✅ Il periodo aumenta leggermente
✅ L'ampiezza diminuisce nel tempo
✅ L'energia si dissipa continuamente