Serie di Taylor
Data una funzione $f(x)$ infinitamente derivabile in un intorno di un punto $x_0$,
la serie di Taylor di $f$ centrata in $x_0$ è:
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$
Esplicitamente:
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3
+ \cdots$$
Serie di MacLaurin
La serie di MacLaurin è un caso particolare della serie di Taylor con $x_0 =
0$:
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$
Ovvero:
$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$$
Raggio di Convergenza
Una serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ha un raggio di convergenza
$R$
tale che:
- La serie converge assolutamente per $|x| < R$
- La serie diverge per $|x| > R$
- Per $|x| = R$ il comportamento va studiato caso per caso
Il raggio di convergenza può essere calcolato con:
$$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \quad \text{oppure} \quad
\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$
Nell'app, la stima numerica di R si ottiene cercando il massimo valore di $r$ per cui,
fissato $x=r$, la media sul tratto finale dei rapporti $\big|a_{n+1}(r)/a_n(r)\big|$ risulta
inferiore a 1. Se la stima raggiunge il limite superiore di scansione, mostriamo un
limite
inferiore (es. R ≥ 5), che indica un raggio molto ampio (tipico di
$e^x$, $\sin x$, $\cos x$).
In precedenza, un caso limite per $x=0$ poteva produrre erroneamente R ≈ 0; ora
viene
evitato saltando i campioni degeneri e partendo da un $r$ minimo positivo.
Sviluppi di MacLaurin Notevoli
1. Funzione Esponenziale
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
Raggio di convergenza: $R = \infty$ (converge per ogni $x \in \mathbb{R}$)
Applicazione: Per $x = 1$ otteniamo $e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}
+ \cdots \approx 2.71828$
2. Funzione Seno
$$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} +
\frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$
Raggio di convergenza: $R = \infty$
Nota: Solo potenze dispari di $x$, coefficienti alternati.
3. Funzione Coseno
$$\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} +
\frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$
Raggio di convergenza: $R = \infty$
Nota: Solo potenze pari di $x$, coefficienti alternati.
4. Logaritmo Naturale
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -
\frac{x^4}{4} + \cdots$$
Raggio di convergenza: $R = 1$ (converge per $-1 < x \leq 1$)
Attenzione: Questa serie non converge per $x > 1$ o $x \leq -1$.
5. Funzione Binomiale
$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x +
\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$$
Raggio di convergenza: $R = 1$ (per $\alpha \notin \mathbb{N}$)
Dove $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ (coefficiente
binomiale generalizzato)
6. Funzione Tangente Iperbolica
$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$$
Raggio di convergenza: $R = 1$ (serie geometrica)
Formula del Resto di Lagrange
L'errore commesso approssimando $f(x)$ con il polinomio di Taylor di grado $n$ è dato
dal
resto di Lagrange:
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$
dove $\xi$ è un punto compreso tra $x_0$ e $x$.
Questa formula permette di stimare l'errore di approssimazione e determinare quanti
termini
della serie sono necessari per raggiungere una precisione desiderata.
Applicazioni Pratiche
- Calcolo numerico: Approssimazione di funzioni trascendenti
- Fisica: Approssimazioni lineari e non lineari di fenomeni fisici
- Ingegneria: Analisi di segnali e sistemi
- Statistica: Approssimazioni di distribuzioni di probabilità
Teorema di Unicità: Se una funzione $f(x)$ è sviluppabile in serie
di potenze
in un intorno di $x_0$, tale sviluppo coincide con la serie di Taylor di $f$ in
$x_0$.