Simulatore Moto Parabolico

Senza resistenza dell'aria

Con resistenza (F ∝ v)

Modello avanzato (F ∝ v²)

🎯 Parametri di Lancio

Velocità iniziale (v₀) 25 m/s

Angolo di lancio (θ) 45°

⚙️ Proprietà Proiettile

Massa del proiettile (m) 1.0 kg

Esempi: baseball (0.145 kg), palla calcio (0.43 kg), palla bowling (7 kg), proiettile cannone (15 kg)

Raggio del proiettile (r) 10.0 cm

Diametro: 20.0 cm
Esempi: baseball (3.7 cm), calcio (11 cm), basket (12 cm), palla fitness (35 cm)

💨 Modelli di Resistenza dell'Aria

Attiva resistenza dell'aria

Coefficiente di resistenza k (N·s/m) 0.1

Modello avanzato (F ∝ v²) Per alte velocità (più realistico)

📊 Dati del lancio

Gittata (senza attrito): 0 m

Altezza max (senza attrito): 0 m

Tempo di volo (senza attrito): 0 s

Velocità impatto (senza attrito): 0 m/s

Gittata (con attrito F∝v): 0 m

Altezza max (con attrito F∝v): 0 m

Tempo di volo (con attrito F∝v): 0 s

Velocità impatto (con attrito F∝v): 0 m/s

Gittata (modello avanzato F∝v²): 0 m

Altezza max (F∝v²): 0 m

Tempo di volo (F∝v²): 0 s

Velocità impatto (F∝v²): 0 m/s

⚡ Energia di Lancio

Energia cinetica iniziale: 0 J

Potenza equivalente: 0 W

Area frontale (A = πr²): 0 m²

Rapporto A/m: 0 m²/kg

Formula: E = ½mv²
Massa: 0.145 kg | Raggio: 5.0 cm
Un alto rapporto A/m significa più resistenza per unità di massa

📚 Sezione Didattica

Approfondisci la teoria e gli esperimenti dietro la simulazione

🧮 Equazioni del Moto Parabolico

Senza resistenza dell'aria:

Velocità iniziali: v₀ₓ = v₀·cos(θ), v₀ᵧ = v₀·sin(θ)
Posizione: x(t) = v₀ₓ·t, y(t) = v₀ᵧ·t - ½g·t²
Velocità: vₓ(t) = v₀ₓ, vᵧ(t) = v₀ᵧ - g·t
Gittata: R = v₀²·sin(2θ)/g
Altezza max: h = v₀ᵧ²/(2g)
Tempo volo: T = 2v₀ᵧ/g

💨 Con Resistenza dell'Aria (Modello Semplificato F ∝ v)

Forza di resistenza: F = -k·v (proporzionale alla velocità)

Accelerazioni:

k_eff = k · (A/m) dove A = πr², m = massa
aₓ = -k_eff·vₓ
aᵧ = -g - k_eff·vᵧ

Metodo numerico (Euler-Cromer):

vₓ(t+Δt) = vₓ(t) + aₓ·Δt
vᵧ(t+Δt) = vᵧ(t) + aᵧ·Δt
x(t+Δt) = x(t) + vₓ(t+Δt)·Δt (usa la nuova velocità!)
y(t+Δt) = y(t) + vᵧ(t+Δt)·Δt (usa la nuova velocità!)
Passo temporale: Δt = 0.01s
Vantaggio: Euler-Cromer conserva meglio l'energia rispetto a Eulero standard

💡 Nota: Il coefficiente k è ora moltiplicato per A/m per tenere conto delle dimensioni del proiettile. Oggetti più grandi (A maggiore) o più leggeri (m minore) subiscono più resistenza.

🚀 Modello Avanzato (F ∝ v²)

Forza di resistenza: F = ½·ρ·Cd·A·v²

Parametri utilizzati:

ρ = 1.225 kg/m³ (densità aria)
Cd = 0.47 (coefficiente resistenza sfera)
r = 0.05 m (raggio sfera 5cm)
A = πr² = 0.00785 m² (area frontale)
m = 0.145 kg (massa pallina baseball)

Equazioni:

v = √(vₓ² + vᵧ²)
b = (½·ρ·Cd·A)/m ≈ 0.0126
aₓ = -b·v·vₓ/v = -b·v·(vₓ/v)
aᵧ = -g - b·v·(vᵧ/v)
Passo temporale: Δt = 0.002s

💡 Questo modello è più realistico per alte velocità!

⚡ Energia di Lancio

Energia cinetica iniziale:

E = ½·m·v₀²
Questa è l'energia necessaria per portare il proiettile da fermo alla velocità v₀

Potenza media:

P = E / Δt
Assumendo accelerazione in Δt = 0.1s (tipico per un lancio manuale)
Esempio: per lanciare 0.145 kg a 30 m/s servono ~65 J erogati in ~650 W

💡 Nota: Un essere umano medio può generare ~100-300 W in modo sostenuto, ma picchi istantanei molto maggiori (800-1200 W) per brevi periodi.

🤔 Domande Guida per Studenti

Qual è l'angolo ottimale? Lancia a diversi angoli senza resistenza. A quale angolo ottieni la massima gittata? Perché proprio 45°?
Effetto della resistenza: Confronta le due traiettorie. Come cambia la forma? Perché la discesa è più ripida?
Simmetria: La traiettoria senza attrito è simmetrica? E quella con attrito? Perché?
Energia: Confronta le velocità di impatto. Dove va l'energia "persa" con l'attrito?
Tempo di volo: Come cambia il tempo di volo con la resistenza? È maggiore o minore?
Altezza massima: L'attrito influisce sull'altezza massima raggiunta? In che modo?
Differenza tra modelli: Attiva il modello avanzato (F ∝ v²) e confrontalo con quello semplice (F ∝ v). Quale traiettoria scende più ripidamente? Perché?
Velocità alta vs bassa: Prova velocità di 15 m/s e 45 m/s. In quale caso la differenza tra i due modelli è più evidente?
Effetto della massa: Mantieni raggio fisso a 5 cm. Varia la massa da 0.05 a 0.5 kg. Come cambia la gittata? Oggetti più pesanti vanno più lontano?
Effetto del raggio: Mantieni massa fissa a 0.145 kg. Varia il raggio da 2 a 10 cm. Come cambia la gittata? Perché?
Rapporto A/m: Confronta due oggetti con stesso A/m ma diversa massa. Hanno traiettorie simili? Cosa controlla veramente la resistenza?

🔬 Esperimenti Suggeriti

1. Test dell'angolo ottimale:

• Disattiva la resistenza
• Prova angoli da 15° a 75° (incrementi di 15°)
• Annota le gittate e crea un grafico
• Verifica che 45° dia la massima gittata

2. Effetto della velocità:

• Mantieni angolo a 45°
• Varia velocità: 10, 20, 30, 40, 50 m/s
• Osserva come cresce la gittata (quadratico!)
• R ∝ v² secondo la formula

3. Impatto della resistenza:

• Fissa v₀ = 30 m/s, θ = 45°
• Varia k da 0 a 0.5 (incrementi di 0.1)
• Crea tabella: k vs gittata vs tempo volo
• Osserva la riduzione progressiva

4. Confronto asimmetria:

• Lancia con θ = 60° e k = 0.2
• Misura distanza salita vs discesa
• Confronta velocità iniziale vs finale
• Spiega le differenze osservate

5. Sfida della gittata fissa:

• Obiettivo: raggiungere 50m di gittata
• Con k = 0: trova v₀ e θ necessari
• Con k = 0.3: come cambiano i valori?
• Discuti le differenze

6. Confronto tra modelli:

• Imposta v₀ = 40 m/s, θ = 45°, k = 0.2
• Attiva resistenza e modello avanzato
• Confronta le 3 traiettorie
• Crea una tabella con: gittata, altezza, tempo volo
• Quale modello è più realistico? Perché?

7. Effetto velocità sui modelli:

• Prova v₀ = 15, 30, 45 m/s (θ = 45°)
• Per ogni velocità attiva entrambi i modelli
• Calcola differenza percentuale gittata: (F∝v² vs F∝v)
• Osserva: la differenza cresce con la velocità!
• Spiega perché F ∝ v² diventa dominante

8. Bilancio energetico:

• Lancia con v₀ = 30 m/s, θ = 45°
• Annota energia iniziale (pannello giallo)
• Calcola energia finale: E_f = ½·m·v_impatto²
• Energia persa = E_i - E_f
• Dove è andata questa energia? (calore!)
• Confronta perdita tra i due modelli di resistenza

9. Effetto massa e dimensioni:

• Confronta: pallina ping-pong (m=0.0027 kg, r=2 cm) vs palla calcio (m=0.43 kg, r=11 cm)
• Lancia entrambe a 25 m/s, 45°
• Quale subisce più resistenza? Perché?
• Calcola e confronta il rapporto A/m
• Un alto A/m significa oggetto "leggero per la sua dimensione"

10. Sfida della piuma vs proiettile:

• Imposta massa piccolissima (0.005 kg) e raggio grande (0.1 m)
• Attiva modello avanzato, v₀ = 20 m/s
• Osserva la traiettoria: quanto scende velocemente?
• Ora prova massa grande (0.5 kg) e raggio piccolo (0.02 m)
• Confronta le gittate: differenza enorme!
• Spiega usando il rapporto A/m

💡 Note Tecniche

g = 9.81 m/s²: accelerazione gravitazionale terrestre
Metodo di Euler-Cromer: integrazione numerica semi-implicita per equazioni differenziali. A differenza del metodo di Eulero standard, Euler-Cromer aggiorna prima le velocità e poi usa le nuove velocità per aggiornare le posizioni. Questo lo rende più stabile e conservativo dell'energia, particolarmente importante per simulazioni fisiche.
Coefficiente k (modello semplice): rappresenta resistenza "generica", poi moltiplicato per A/m
Coefficiente di resistenza Cd = 0.47: valore tipico per sfere lisce
Rapporto A/m critico: determina quanto un oggetto è sensibile alla resistenza dell'aria
- Ping-pong: A/m ≈ 0.47 m²/kg (molto alto, cade lentamente)
- Baseball: A/m ≈ 0.054 m²/kg (medio)
- Proiettile denso: A/m ≈ 0.003 m²/kg (basso, penetra l'aria)
Limite del modello: In questa simulazione usiamo F = -k·v (modello semplice) e F = ½·ρ·Cd·A·v² (modello avanzato). Nella realtà, per velocità elevate (v > 50 m/s), il modello quadratico è più accurato. Usiamo il modello lineare per didattica perché è più semplice da capire e mostra comunque gli effetti principali dell'attrito.
Scala grafico: 1 divisione griglia = 10 metri

⚖️ Quando usare quale modello?

F ∝ v (modello semplice): oggetti lenti, piccoli, basse velocità (es: pallina da tennis, frisbee, foglia che cade)
F ∝ v² (modello avanzato): oggetti veloci, grandi, alte velocità (es: proiettili, auto, aerei, meteoriti, palloni da calcio)
Differenza pratica: Con F ∝ v² la discesa è ancora più ripida e la velocità finale molto più bassa rispetto al modello lineare. L'effetto è più pronunciato per oggetti con alto rapporto A/m.